S’il y en avait plusieurs distinctes, elles devraient se distinguer entre elles ou bien par une différence d’attributs ou bien par une différence d’affections (E1p4). Si l’on ne retient que la différence d’attributs, on accordera donc qu’il n’y en a qu’une seule de même attribut. Mais si on les distingue par une différence d’affections, puisqu’une substance est antérieure par nature à ses affections (E1p1), alors, une fois une substance dépouillée de ses afffections et considérée en elle-même, c’est-à-dire (E1d3 et E1a6) considérée telle qu’elle est vraiment, on ne pourra pas concevoir qu’elle se distingue d’une autre, c’est-à-dire (E1p4) qu’il ne pourra pas y en avoir plusieurs, mais seulement une. C.Q.F.D.
La démonstration est un premier exemple d’un type de raisonnement auquel Spinoza recourt souvent, à savoir le raisonnement par l’absurde.
Le raisonnement par l’absurde (du latin reductio ad absurdum) ou apagogie (du grec ancien apagôgê) est une forme de raisonnement logique, philosophique, scientifique consistant soit à démontrer la vérité d’une proposition en prouvant l’absurdité de la proposition complémentaire (ou « contraire »), soit à montrer la fausseté d’une proposition en déduisant logiquement d’elle des conséquences absurdes.
Le raisonnement par l’absurde est donc un raisonnement qui permet de démontrer qu’une affirmation est vraie en montrant que sa négation est fausse (ou son contraire est faux).
La démonstration fait d’abord appel aux éléments de l’argument précédent, en commençant par la proposition précédente : s’il y a deux substances différentes, elles diffèrent l’une de l’autre soit par les attributs de leur substance (distinction substantielle) soit par leurs modes (distinction modale) (E1p4).
Dans le premier cas, lorsqu’elles différeraient quant à leurs attributs, elles auraient donc des attributs complètement différents, et alors il n’y auraient pas plusieurs substances avec les mêmes attributs. Dans le second cas, elles auraient des affections, des états ou des modes différents. Mais selon la proposition 1, une substance prime sur ses modes. Si donc on fait abstraction de ces modes et considère une substance en elle-même, comme il se doit selon la définition même d’une substance (1def3) et selon l’axiome 6 (une idée vraie correspond à ce qu’elle représente, à son ideatum ), on ne verrait donc plus de différences entre ces deux ou plusieurs substances, puisque ces différences ne se trouveraient que dans les modes qui, par définition, sont plus ou moins éphémères. Dans les deux cas, il paraît impossible qu’il y ait deux ou plusieurs substances ayant les mêmes attributs ou, ce qui revient au même, la même nature.
Autrement dit, deux substances (s’il y en a plusieurs) ne peuvent être deux substances réellement distinctes que si leur correspondent deux natures réellement distinctes, hétérogènes l’une à l’autre. Elles ne peuvent rien avoir en commun.
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