Traduction

D’un même attribut il n’existe qu’une seule substance (E1p5), et il appartient à sa nature d’exister (E1p7). Il sera donc de sa nature qu’elle existe ou finie ou infinie. Mais finie, non. Car (E1d2) il faudrait qu’elle soit bornée par une autre de même nature, qui elle aussi devrait nécessairement exister (E1p7); et ainsi il y aurait deux substances de même attribut, ce qui est absurde (E1p5). Elle existe donc infinie. C.Q.F.D.

Commentaire

Il s’agit d’une démonstration par l’absurde qui consiste à démontrer qu’une substance ne peut exister comme finie, en raison de ce qu’implique la définition des choses finies (E1d2), c’est à dire une communauté de nature ou d’attribut. Or, puisqu’il ne peut y avoir deux ou plusieurs substances différentes de même nature ou avec le même attribut, il n’y aura qu’une seule avec cet attribut, en d’autres termes, elle est unique (E1p5). Cette substance unique est alors par nature soit limitée, soit illimitée. Si elle était limitée, alors par E1d2 elle serait finie et donc bornée par une autre chose de même nature, c’est-à-dire une substance de même nature qui existe aussi nécessairement (E1p7). Il y aurait alors deux substances avec le même attribut, mais c’est absurde car cela contredit E1p5. Si donc une substance unique n’est pas limitée par une autre, elle est illimitée ou infinie.

L’infinité n’a pas encore été définie (elle le sera dans le scolie 1) : seule la finitude l’a été dans la définition 2, et c’est par elle que passera la démonstration.
Il n’y a donc pas de substance finie, s’il y a de la finitude, elle ne peut être que modale.
Ne pouvant être considérée comme finie, et aucune moyen terme n’existant entre le fini et l’infini, l’existence nécessaire d’une substance ne peut être qu’infinie. CQFD.

Texte latin

Substantia unius attributi non nisi unica existit (per propositionem 5) et ad ipsius naturam pertinet existere (per propositionem 7). Erit ergo de ipsius natura vel finita vel infinita existere. At non finita. Nam (per definitionem 2) deberet terminari ab alia ejusdem naturæ quæ etiam necessario deberet existere (per propositionem 7) adeoque darentur duæ substantiæ ejusdem attributi, quod est absurdum (per propositionem 5). Existit ergo infinita. Q.E.D.